آموزش روش TOPSIS به همراه یک مثال

آموزش روش TOPSIS به همراه یک مثال

با توجه به درخواست تعدادی از دوستان، در این مطلب با یک مثال ساده روش Topsis را آموزش خواهم داد. برای این روش نرم افزاری با عنوان TOPSIS 2005  معرفی شده است اما این نرم افزار به درستی نصب نمی شود. از آنجا که نرم افزار دیگری پیدا نکردم برای محاسبات از نرم افزار Excell استفاده شده است.

می خواهیم از بین ۱۰ خیابان در یک محله، بهترین خیابان ها را برای استفاده دوچرخه سواران مشخص کنیم. (خیابان ها را اولویت بندی کنیم.) طی مطالعات صورت گرفته معیارهای زیر برای این موضوع مشخص شده است:

1. حجم ترافیک عبوری (Volume)
2. نسبت  کاربری های غیر مسکونی به کل کاربریها (Non_Res)
3. وضعیت فضای سبز (Green)
4. کیفیت کف سازی خیابان (Ground)
5. تعداد چراغهای روشنایی در واحد طول (L per D)

پس از برداشت میدانی امتیازهای زیر به هر یک از گزینه ها داده شده است.

ID	Volume	Non_Res	Green	Ground	L per D
1	595	0.35	3	3	0.045
2	1119	0	3	3	0.059
3	311	0.27	7	3	0.021
4	311	0.16	7	3	0.032
5	520	0.04	3	5	0.024
6	905	0.2	3	5	0.032
7	2226	0.61	5	5	0.025
8	311	0.06	7	5	0.021
9	2576	1	5	7	0.024
10	514	0	5	7	0

از آنجا که TOPSIS یکی از روش های اولویت بندی است از این روش استفاده خواهیم کرد.

TOPSIS مخفف عبارت (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) است. مدل TOPSIS توسط هوانگ و یون در سال ۱۹۸۱ پیشنهاد شد. این مدل یکی از بهترین مدلهای تصمیم گیری چند شاخصه می باشد. اساس این تکنیک بر این مفهوم استوار است که گزینه انتخابی بایستی کمترین فاصله را با راه حل ایده آل مثبت (بهترین حالت ممکن) و بیشترین فاصله را با ایده آل منفی (بدترین حالت ممکن) داشته باشد. حل مسئله با این روش شامل شش گام است.

1. کمی کردن و بی مقیاس سازی ماتریس تصمیم :

این فرآیند سعی می کند مقیاسهای موجود در ماتریس تصمیم را بدون مقیاس نماید. به این ترتیب که ھر کدام از مقادیر بر اندازه بردار مربوط به ھمان شاخص تقسیم می شود.

پس ابتدا مجذور هر یک از درایه ها را بدست می آوریم و سپس جذر مجموع مجذورات هر یک از شاخص ها را بدست می اوریم.

حال هر یک از درایه ها را بر جذر مجموع مجذورات شاخص مربوطه تقسیم می کنیم. حاصل مطابق جدول زیر خواهد بود.

ID	Volume	Non_Res	Green	Ground	L per D
1	0.15	0.27	0.19	0.20	0.45
2	0.29	0.00	0.19	0.20	0.58
3	0.08	0.21	0.44	0.20	0.21
4	0.08	0.13	0.44	0.20	0.32
5	0.13	0.03	0.19	0.33	0.24
6	0.23	0.16	0.19	0.33	0.32
7	0.58	0.48	0.31	0.33	0.25
8	0.08	0.05	0.44	0.33	0.21
9	0.67	0.78	0.31	0.46	0.24
10	0.13	0.00	0.31	0.46	0.00

توجه داشته باشید که اگر از معیارهای کیفی همچون خیلی خوب، خوب، متوسط و … استفاده می کنید بایستی این مقادیر را به مقادیر کمی تبدیل کنید. در مثال ما وضعیت فضای سبز و وضعیت کف سازی کیفی است که کمی شده اند.

1. وزن دهی به ماتریس نرمالایز شده:

ماتریس تصمیم در واقع پارامتری است و لازم است کمی شود ،به این منظور تصمیم گیرنده برای هر شاخص وزنی را معین میکند. وزن شاخص ها با روش AHP و در نرم افزار Expert Choice محاسبه شده است. وزن ها به قرار زیر است :

1. حجم ترافیک عبوری   (۰٫۴۱)
2. نسبت  کاربری های غیر مسکونی به کل کاربریها   (۰٫۲۳)
3. وضعیت فضای سبز    (۰٫۱۱)
4. کیفیت کف سازی خیابان    (۰٫۱۱)
5. تعداد چراغهای روشنایی در واحد طول   (۰٫۱۴)

توجه داشته باشید که مجموع وزن ها بایستی یک شود.

سپس وزن ها در ماتریس نرمال شده ضرب شده است. حاصل به صورت زیر خواهد بود.

ID	Volume	Non_Res	Green	Ground	L per D
1	0.06	0.063	0.02	0.02	0.062
2	0.12	0	0.02	0.02	0.082
3	0.03	0.049	0.05	0.02	0.029
4	0.03	0.029	0.05	0.02	0.044
5	0.06	0.007	0.02	0.04	0.033
6	0.10	0.036	0.02	0.04	0.044
7	0.24	0.110	0.03	0.04	0.035
8	0.03	0.011	0.05	0.04	0.029
9	0.27	0.180	0.03	0.05	0.033
10	0.05	0	0.03	0.05	0

1. تعیین راه حل ایده آل مثبت و راه حل ایده آل منفی:        

در این قسمت بسته به نوع شاخص و اثر گذاری آن روی هدف تصمیم گیری، ایده آل مثبت و ایده آل منفی تعیین می شود. برای شاخص هایی که دارای تأثیر گذاری مثبت بر روی هدف مسئله می باشند، ایده آل مثبت، بیشترین مقدار آن شاخص خواهد بود. به طور مثال هر چه امتیاز فضای سبز بالاتر باشد برای ما مطلوب تر است. به همین منوال برای شاخص هایی که دارای تأثیر گذاری منفی بر روی هدف مسئله می باشند، ایده آل مثبت، کمترین مقدار آن شاخص خواهد بود. به طور مثال هر چه حجم تردد پایین تر باشد برای ما مطلوب تر است.

جدول زیر مقادیر حداکثر و حداقل هر یک از شاخص ها را نشان می دهد:

ID	Volume	Non_Res	Green	Ground	L per D
max	0.27	0.18	0.05	0.05	0.082
min	0.03	0.00	0.02	0.02	0.00

1. به دست آوردن میزان فاصله هر گزینه تا ایده آل های مثبت و منفی:

فاصله اقلیدسی هر گزینه از ایده آل مثبت و فاصله هر گزینه تا ایده آل منفی، بر اساس فرمول های زیر محاسبه می شود:

توجه داشته باشید که ایده آل مثبت برای معیار حجم ترافیک مقدار حداقل و برای مابقی معیارها مقدار حداکثر است و ایده آل منفی برای حجم ترافیک مقدار حداکثر و برای مابقی معیارها مقدار حداقل است.

برای هر یک از خیابان ها  فاصله مقدار ذکر شده برای هر معیار را با ایده آل مثبت آن معیار بدست آورید و سپس به توان ۲ برسانید. مجموع این مقادیر را محاسبه کنید و سپس جذر آن را محاسبه کنید.

به همین منوال برای فاصله تا ایده آل منفی عمل کنید و مقادیر را برای هر یک از خیابان ها محاسبه کنید.

در انتهای این مرحله برای هر یک از خیابان ها دو مقدار (فاصله از ایده آل مثبت و فاصله از ایده آل منفی) خواهیم داشت. جدول زیر این مقادیر را نشان می دهد.

ID	plus	minus
1	0.13	0.23
2	0.21	0.18
3	0.14	0.25
4	0.15	0.25
5	0.18	0.22
6	0.16	0.19
7	0.22	0.12
8	0.17	0.25
9	0.24	0.19
10	0.19	0.22

1. تعیین نزدیکی نسبی (CL) یک گزینه به راه حل ایده آل:

بعد از یافتن فاصله های مثبت و منفی برای هر گزینه، فاصله نسبی گزینه های تصمیم گیری به کمک رابطه زیر تعیین می گردد:

این مقدار برای هر یک از خیابان ها به قرار جدول زیر است:

ID	CL
1	0.6406
2	0.4591
3	0.6483
4	0.6177
5	0.5563
6	0.5392
7	0.3611
8	0.5901
9	0.4342
10	0.5427

1. رتبه بندی گزینه ها:

آخرین مرحله TOPSIS رتبه بندی گزینه های پیش روی و تعیین بهترین گزینه می باشد برای این منظور کافی است فاصله نسبی هر گزینه، به ترتیب بزرگ به کوچک مرتب شود. در این حالت گزینه که دارای بزرگترین فاصله نسبی نسبت به سایر گزینه ها می باشد، بالاترین رتبه را به خود اختصاص می دهد.

ID	CL
3	0.6483
1	0.6406
4	0.6177
8	0.5901
5	0.5563
10	0.5427
6	0.5392
2	0.4591
9	0.4342
7	0.3611

در مثال ما خیابان شماره ۳ که بیشترین فاصله نسبی را به خود اختصاص داده، بهترین خیابان برای استفاده دوچرخه سواران است.

توضیحات برگرفته از: مومنی، منصور. مباحث نوین تحقیق در عملیات. تهران: انتشارات منصور مومنی, (۱۳۸۹).