انحراف حرارتي در حالت تعليق

1- انحراف حرارتي در حالت تعليق: فرمول 1 – ، 2- بي تعادلي گرمايي:فرمول 2

توزيع دما :فرمول 3   – بي تعادلي حرارتي

بي تعادلي مكانيكي اوليه :هر سيستم روتور توزيع وزني، سفتي و تغيير شكل اوليه خودش را دارد. در نتيجه، مقدار و محل بي تعادلي مكانيكي جهت پيش بيني كردن در يك سيستم روتور اختياري خيلي مشكل است. اين بيتعادلي مكانيكي به عنوان بي تعادلي ايجاد شه از يك نيروي گريز از مركز تا 10% از وزن كلي روتور ثابت تعريف ميگردد. بي تعادلي مكانيكي زماني اتفاق مي افتد كه روتور با سرعت عملكرد دائمي حد اكثر حركت ميكند و بر حسب رياضيات به صورت فرمول 4 تعريف ميگردد. با توجه به يك سيستم مختصات در روتور اين بي تعادلي به عنوان يك زاويه از درجات صفر عمل ميكندو در مركز جاذبه توده آويزان قرار ميگيرد.

چرخش همزمان :

مقايسه بين اثر نيوكرك و اثر مورتون :هر دو اثر نيو كرك و مورتون شامل گسترش شيب دمايي در سر تا سر سر محور ميگردد كه در نتيجه منجر به خمش حرارتي بي ثبات از طريق يك مكانيسم پس خوراند مثبت ميگردد. بعضي از ديگر شباهتها و تفاوتها بين اين دو پديده در اينجا خلاصه شده اند.

اثر مورتون	اثر نيوكرك	پارامتر
چرخش همزمان	چرخش همزمان	حركت روتور
مورد نياز است.	مورد نياز نيست.	پيكربندي overhung
خارج از مرحله نقطه داغي	در مرحله نقطه داغي	بي تعادلي مكانيكي
برش چسبناك ديفرانسيل	ماليدن روتور به استاتور	علت نقطه داغي
درون ياطاقان	خارج از ياطاقان	محل نقطه داغي

 

پيش بيني كردن بي ثباتي مورتون :1- تخمين زدن بي تعادلي مكانيكي اوليه 2- تعيين كردن ضخامت لايه براي ياطاقاني خاص 3- به دست آوردن وضعت تعادل ثابت سر محور 4-به كار بردن VT- FAST يا برنامه اي مشابه جهت به دست آوردن چرخش ديناميك. اين چرخش سپس جهت ايجادكردن چرخش كلي همزمان با حالت تعادل تركيب ميگردد. 5- توسعه دادن معادله انرژي جهت به دست آوردن توزيع دماي محيطي 6- محاسبه كردن بي ثباتي حرارتي 7- مقايسه كردن بي تعادلي حاصله با يك معيار آستانه بي ثباتي از پيش تعريف شده

• اگر نقطه داغي در خارخ از فاز با بي تعادلي overhung 180 درجه باشد و اگر شيب دمايي و بزرگي بي تعادلي كافي باشد، خمش حرارتي رخ ميدهد. تحت اين شرايط محور خم شده فضاي خالي ياطاقان را كاهش ميدهد و شيب گرمايي را بالا ميبرد.شيب دمايي افزايش يافته از اينرو خمش گرمايي بيشتري را آغاز ميكند . اين عملكرد ها يك مكانيسم پس خوراند مثبت را توضيح ميدهند كه سيستم را بي ثبات ميكند.

اثر مورتون : اسچميد نشان داد كه ارتعاشات چرخشي بي ثبات از نقاط داغي حاصل ميشود كه در ياطاقان لايه سيال توسعه مي يابند. تحقيق انجام شده به وسيله كوگ و مورتون وجود چنين بي ثباتي هايي را تاييد ميكند كه به طور ابتدائي در روتور هاي آويزان رخ ميدهد. اين ارتعاشات بي ثبات پديده اي به وجود مي آورند كه اثر مورتون ناميده ميشود.

بي ثباتيهاي حرارتي : اثر نيوكرك-1- نيوكرك متذكر ميشود كه در زماني كه يك روتور در زير سرعت بحراني آن عملكرد دارد ، ارتعاشات مالشي القايي با زمان توسعه مي يابند در حاليكه اين ارتعاشات به طور مهمي به مرور زمان افت پيدا ميكنند.  2- نيوكرك نتيجه گيري كرد كه علت مسئله يك جزئي از استاتور بود كه جهت ايجاد كردن نقطه داغي به محور مالش داده ميشود. 3- موسزينسكا نشان داد كه در يك حالت چرخشي يا نوساني كه شكلي از ارتعاش خود مرك روتور ميباشد ، روتور به اثر گرمايي واكنش نشان ميدهد.4- در طول اين عملكرد، روتور چرخش هم زمان دارد يعني يعني محور يا سرمحور با همان سرعتي ميچرخد كه مركز محور به دور مركز ياطاقان ميچرخد. اين پيكر بندي اطمينان ميدهد كه جهت ايجاد كردن يك نقطه داغ يك منطقه خاصي از سطح محوربه قطعه اي از استاتور مالش داده ميشود در حاليكه از لحاظ قطر بخش مخالف محور هرگز اين تماس اصطحكاكي را تجربه ميكند و در دماي محيط باقي ميماند. چنين اختلاف دمايي باعث يك شيب حرارتي ميگردد كه در سرتاسر محور توسعه مي يابد و در نهايت به خمش حرارتي منجر ميگردد.

ياطاقان هاي سر محور با لايي ثابت با گامها و بند ها يا حباب ها :

نوع ياطاقان : بند فشاري (تك بند ) – مزايا 1- مانع خوب چرخش 2- هزينه پايين 3- ميرايي خوب در سرعت هاي بحراني 4- به آساني ساخته ميشوند. – معايب: با اخطاري جزئي بي ثبات است 2- بند ممكن است فرسوده گردد يا به مرور زمان ساخته شود . 3- جهت فشار بايد مشخص باشد. –   پيشنهادات : در صنعت پتروشيمي خيلي عامه پسند است. به آساني بند بيضوي را به بند فشاري تبديل ميكند.

• شيار محوري چند بندي يا چند پره اي 1- بندها نسبتا به آساني در ياطاقان هاي موجود قرار ميگيرند. 2- مانع خوب چرخش ميباشند. 3- عملكرد كلي خوبي دارند.

و معايب: ياطاقان پيچيده به بررسي جزئي نياز دارد. 2- به علت علل هاي غير ياطاقاني مانع چرخش نميشود. و پيشنهادات: توسط بعضي از توليد كنندگان به عنوان طرح  استاندارد كاربرد دارد.

ياطاقان هيدرواستاتيكي: مزايا: از چرخش روغن جلوگيري خوبي به عمل مي آورد. 2- تغيير حدود وسيعي از پارامتر هاي طرح 3- هزينه ميانگين  –   معايب: ميرايي ضعيف در سرعت هاي بحراني 2- به طرح دقيقي نياز دارد . 3- به نرم كننده اي با فشار زياد نياز دارد.  – پيشنهادات : به وطور كلي ويژگيهاي سفتي زياد جهت روتور هاي با دقت استفاده شده اند.

4- سر محور صاف – مزايا: به آساني ساخته ميشوند2- كم هزينه ميباشند. – معايب: اكثراً  به چرخش روغن تمايل دارند. – پيشنهادات: ياطاقان هاي مدور تقريباً هميشه جهت ساختن ياطاقان هاي بيضوي خرد شده اند.

5- كماني جزئي : -مزايا:1- به آساني ساخته ميشوند.2- كم هزينه ميباشند. 3- افت اسب بخار كمي دارند. — معايب: مقاومت اتعاشي ضعيف 2- موجودي روغن مشخص نميباشد. –    پيشنهادات: ياطاقان ها فقط در ماشينهاي نسبتا قديمي استفاده ميشدند.

6- شيار محوري : – مزايا: 1- به آساني ساخته ميشوند 2- كم هزينه ميباشند. – معايب:در  معرض چرخش روغن قرار ميگيرند. – پيشنهادات : ياطاقان هاي مدور هميشه جهت ساختن بيضوي يا چند پره اي خرد ميشوند.

• حلقه اي شناور: 1- نسبتاً به آساني ساخته ميشوند. 2- كم هزينه ميباشند (مزايا )-

معايب: در معرض چرخش روغن قرار ميگيرند. (2 فركانس چرخش همزمان فرعي)

پيشنهادات: به طور ابتدائي در توربوشارژرهاي پر سرعت جهت موتورهاي ديزلي كاربرد دارند.

7- ياطاقان هاي بيضوي:1- به آساني ساخته ميشوند. 2- كم هزينه ميباشند –3- ميرايي خوبي در سرعت هاي بحراني دارند. (مزايا) — معايب : در سرعت هاي بالا در معرض چرخش روغن قرار ميگيرند. 2- جهت فشار بايد مشخص باشد. – پيشنهادات : احتمالاً ياطاقان ها در سرعت هاي ميانگين يا پايين روتور  مورد استفاده قرار ميگيرند.

8- نيمه انحرافي : (با شكاف افقي) – مزايا: جلوگيري عالي از چرخش در سرعت هاي بالا

2- كم هزينه ميباشند. 3- به آساني ساخته ميشوند.  –معايب: جلوگيري نسبي از چرخش در سرعت هاي مياني 2- جهت فشار بايد مشخص باشد. – پيشنهادات: سفتي افقي زياد و سفتي عمودي كم ممكن است عامه پسند باشدو در خارج از ايالات متحده به كار گرفته ميشود.

9- ياطاقان هاي 3و4 پره اي: – مزايا: 1- جلوگيري خوب از چرخش 2- عملكرد كلي خوب 3- هزينه مياني—معايب: بعضي از انواع جهت به درستي ساخته شدن پر خرخ ميباشند. 2- در سرعت هاي بالا ميچرخند.   –پيشنهادات : در حال حاضر توسط بعضي از توليد كنندگان به عنوان يك طرح ياطاقان استاندارد كاربرد دارند.

كمترل كردن چرخشي و ضربه اي: ياطاقان هاي از خارج تحت فشار قرار گرفته با طرح با يك وضعيت كاملا ً روغن كاري شده راه اندازي ميشوند. سفتي فنر اين ياطاقان ها بستگي به فشار سيال نرم كننده اي دارد كه براي ياطاقان تهيه شده است. اين فشار با پمپي خارجي ايجاد ميگردد. و با تغيير دادن فشار ايجاد شده در ياطاقان با فراهم كردن احتمال كنترل سفتي متغيريك ماشين ، كنترل كردن سفتي فنر ياطاقان امكان پذير است.

آب بندي ها نيز مانند ياطاقان ها عمل ميكنند. و مسئول راه اندازي بي ثباتي هاي سيال القاء شده ميباشند. حتي در ماشينهايي كه كه با طرح هاي ياطاقان مقاوم در برابر بي ثباتي پشتيباني ميشوند از قبيل ياطاقان هاي لايه اي كج شونده . آب بند ها نيز ميتوانند به طور خارجي با گاز يا مايع تحت فشار قرار بگيرند. و آنها براي عملكرد سفتي متغير همان احتمالات را ارائه ميكنند . به طور جالبي، كاربرد فشار خارجي در ياطاقان ها به طور جهاني به خصوص در اروپا اتفاق مي افتد ، از آنجائيكه بسياري از ماشينهاي بزرگ جهت بالا بردن روتور در طول راه اندازي از روغن بالا برنده استفاده ميكنند. فبل از اينكه سرعت چرخشي بتواند يك فشار روغن خود مقاوم را افزايش دهد. متاسفانه ، به طور وسيعي باور ميشود كه فشار خارجي در سرعت هاي عملكرد كاهش مي يابند تا اينكه ثبات ديناميك روتور را بالا ببرند. به اين دليل، فشار روغن بالا برنده يكبار ك روتور به يك سرعت چرخشي مناسب ميرسد حذف ميشود. ما در اين مقاله فشار خارجي يك ياطاقان به درستي طراحي شده را نشان خواهيم داد كه ثبات را بالا ميبرند و ميتوانند چرخش و ضربه را حذف كنند. از اينرو ياطاقان هاي فشاري و آب بند ها جهت كنترل بي ثباتي القايي سيال روش جديدي را ارائه ميكنند.  1- در طول چرخش ،سفتي ياطاقان ضعيفتر از سفتي محورميباشد.از آنجائيكه روتور شروع به چرخيدن ميكند قطر مدار از لحاظ اندازه افزايش مي يابد. 2- از آنجائيكه سفتي ياطاقان تابع مستقيمي از مركزگريزي است ، سفتي ياطاقان به طوري جزئي با اين حركت افزايش مي يابد. 3- وقتي سفتي ياطاقان اين افزايش جزئي را به وجود مي آورد، سيستم بي ثبات باقي ميماند اما دامنه اش افزايش نمي يابد. 4- چون سفتي افزايش يافته فركانس طبيعي سيستم ياطاقان روتور را بالا مي برد ، روتور در يك حركت چرخشي ثابتي باقي مي ماند. 5- سفتي ياطاقان است كه در طول چرخش فركانس طبيعي سيستم ياطاقان روتور را با لا مي برد .از اينرو يك  حالت تشديدي ايجاد نميگردد. 6- سيستم در اين نقطه باقي مي ماند تا سرعت دوباره زياد شود. سپس چرخه تكرار ميگردد. ضربه يك ارتعاش بي ثباتي است كه با فركانس كم ترو بيشتر قفل ميشود. ارتعاش ضربه اي معمولاً با حالت خمش سيستم روتور ارتباط دارد. (شكل بعدي) در اين وضعيت، سر محور با يك نسبت مركز گريزي بالا عمل ميكند و KB   بيشتر از ks  ميباشد. و ks ضعيفترين فنر در سيستم است و آن فركانس طبيعي ارتعاش بي ثبات را كنترل ميكند. در نتيجه، در نسبت هاي مركز گريزي پايين سفتي ياطاقان سفتي سيستم روتور را كنترل ميكند. ازاينرو هر تغييري در سفتي ياطاقان فوراً به عنوان تغييراتي در سفتي كلي فنر روتور سيستم خود را نمايان ميسازد. از طرف ديگر در نسبت هاي مركز گريزي خيلي بالا سفتي ثابت محور تحت كنترل است و سفتي كلي فنر روتور سيستم تقريباً مستقل از تغييراتي در سفتي ياطاقان ميباشد.

چرخش و ضربه روغني : 1- چرخش وضربه هر دو ارتعاشات خود محركي هستند كه زمانيكه نيروهاي سيال در روغن در ياطاقان روتور را به چرخش در مي آورند.2- كليد تشخيص دادن اختلاف بين دو مورد در درك كردن سفتي سيستم ياطاقان روتور ميباشد. 3- سفتي روتور و سفتي ياطاقان يا سيال به صورت سري عمل ميكنند .4- سفتي ضعيفتر سفتي كلي سيستم ياطاقان روتور را كنترل ميكند.

مدل فنري :1- يك روتور انعطاف پذير به عنوان جرمي است كه توسط يك فنر محوري كه به نوبت توسط يك فنر ياطاقان پشتيباني ميشود ، مورد پشتيباني قرار ميگيرد. ازاينرو

k  در واقع شامل دو فنرسري ميباشد ، فنر محوري ks و فنر ياطاقان kE .  براي اين دو فنر متصل به صورت سري ،سفتي تركيب با اين عبارات معادل ارائه ميگردد: معادله 5

براي هر تركيب سري فنرها ،سفتي تركيبات هميشه كمتر از سفتي ضعيفترين فنر ميباشد.

فنر ضعيف سفتي تركيب را كنترل ميكند . به طور مثال ، فرض كنيد كهkB به طور مهمي كوچكتراز ks ميباشد . ازاينرو Ks نسبتاً بزرگ ميشودو k تقريباً معادل با kE ميگردد. ه اين دليل سفتي سيستم هرگز بالاتر از kE نيست. در عمل آن هميشه كمتر خواهد بود. زمانيكه

kE در مقايسه با ks نسبتاً بزرگ است بحثي مشابه با معادله پيشرو مورد استفاده قرار ميگيرد. و سفتي سيستم هميشه كمتر از kE  خواهد بود. — اثرات انعطاف پذيري روتور: با در نظر گرفتن انعطاف پذيري روتور تحليلي مشابه صورت ميگيرد. اين تحليل گرچه مستقيم است ولي دشوارتر است. اين تحليل نشان ميدهد كه نسبت فركانس چرخش تحت تاُثير انعطاف پذيري روتور قرار نميگيرد. هر چند سرعت بي ثباتي به طور نمايشي كاهش مي يابد. رابطه براي سرعت آستانه بي ثباتي يك روتور انعطاف پذير معادله 6 مي باشد. جايي كه شاخص فرعي f روتور انعطاف پذير را مشخص ميكند. Krot در هر طرف از مركز دايره متناظر با سفتي روتور ميباشد. و معادله 7 خم دهي ثابت روتور يا تغيير شكل كشساني در فاصله مياني است. محور كشساني و ياطاقان به صورت سري سوار شده اند .يعني ياطاقان و انعطاف پذيريهاي محور اضافه ميشود. (بر عكس سفتي) و ازاينرو سفتي معادل سيستم كمتر از سفتي ياطاقان ها ميباشد. و ازاينرو فركانس طبيعي سيستم كاهش مي يابد. شكل بعدي سرعت آستانه انعطاف پذيري را براي يك روتور انعطاف پذير سوار شده بر روي ياطاقان هاي سر محور كم طول صاف نشان ميدهد. توجه داشت باشيد كه هر چه قدر روتور انعطاف پذير تر باشد ، سرعت آستانه بي ثباتي كمتر است. اگر ياطاقان هاي لايه سيال خيلي سفت طراحي شوند ـاعداد كوچك سامرفلد)

ازاينرو فركانس طبيعي سيستم ياطاقان روتور صرف نظر از پيكر بندي ياطاقان krot/M ميباشد. معادله 8 و 9 و 10 – اين مقدار از نسبت فركانس چرخش مشخصه اي از ياطاقان هاي هيدروديناميك سر محور صاف ميباشد. و به ما نشان ميدهد كه در شروع بي ثباتي روتور با فركانس طبيعي با نصف سرعت چرخشي ميچرخد. به علاوه تحت هيچ فشار خارجي كاربردي در ماشين آلات توربيني ياطاقان سفتي ندارد و فركانس طبيعي سيستم صفر است و سيستم ياطاقان روتور با تمام سرعت ميچرخد. توجه كنيد كه اگر kxy=0 باشد ، ياطاقان لايه سيال اثرات تزويجي را نشان نميدهد از اينرو نسبت فركانس چرخش برابربا صفر است و چرخشي اتفاق نمي افتد و سيستم ثابت است. اثرات تزويجي مسئول بي ثباتي ها ميباشند و ازاينرو به طور متداولي در روتور هاي سوار شده بر روي ياطاقان هاي سر محور مشاهده ميشوند. اگر نسبت فركانس چرخش 0.50 باشد، ازاينرو سرعت چرخشي حد اكثر كه سيستم ياطاقان روتور ميتواند به دست آورد معادله 11 ميباشد و دو برابر فركانس طبيعي است. (يا سرعت بحراني روتور انعطاف پذير مشاهده ميباشد.) نسبت فركانس چرخشي نماد 1-11 نسبت بين فركانس چرخشي روتور و سرعت بي ثباتي است. توجه كنيد  كه اين نسبت كه با معادله 4.9 ارائه ميگردد تنها به مشخصات ياطاقان لايه سيال و مركز گريزي تعادلي بستگي داردو آن مستقل از مشخضات روتور ميباشد . (جرم روتور و انعطاف پذيري) پارامتر keq سفتي معادل (بدون بعد ) ياطاقان سر محور ميباشد و در شكل هاي قبلي مجسم شده است. از تعاريف سرعت آستانه و نسبت چرخش معادله 12 و 13 معادله 14 نتيجه گيري ميگردد. ازاينرو فركانس چرخشي يا مرحله اي با معادله 15 نشان داده ميشود. يعني ، فركانس چرخشي معادل با فركانس طبيعي روتور انعطاف ناپذير است كه با ياطاقان هاي سر محور حمايت ميشود. جهت عملكرد نزديك به وضعيت هم مركز 15-1 اعداد سامر فلد بزرگ (بدون شرايط فشار) ضريب هاي نيرو هستند، معادله 37-3 را مشاهده كنيد.شكل هاي زير نسبت فركانس چرخشي ( 15.2) را مجسم ميكند و سرعت آستانه بدون بعد بي ثباتي در مقابل مركز گريزي سر محور ميباشد. توجه كنيد كه جهت عملكرد سر محور نزديك به مركز يعني اعداد سامر فلد بزرگ ، فركانس چرخشي 0.50 يعني چرخش نيمه همزمان ميباشد. اطلاعات مهم ديگري نيز به دست آمده است. اگر فردي بپذيرد كه سرعت چرخشي فعلي15.3 متناظر با سرعت بي ثباتي است ، ازاينرو از روابط فوق نتيجه گيري ميشود كه بزرگي جرم سيستم به دست مي آيد كه سيستم ياطاقان روتور را بي ثبات ميكنند. اين جرم ، جرم بحراني ناميده ميشود و متناظر با جرم محدودي است كه سيستم ميتوان به طور ديناميك حمل كند. اگر جرم كلي معادل يا بزرگتر از دوبرابر جرم بحراني باشد ، ازاينرو سيستم در سرعت درجه بندي شده 15.3 بي ثبات خواهد بود. جايي كه معادله 16 به عنوان نسبت فركانس چذخشي ناميده ميشود يعني نسبت بين فركانس چرخشي يا مرحله اي روتور و سرعت بي ثباتي روتور است. جايگزيني 1.5 با معادله 1.4 به معادله 17 منجر ميگردد. تعيين كننده سيستم معادلات بايد براي يك راه حل جزئي سيستم همگن معادلات صفر باشد. يعني معادله 18 – بعد از يك دستكاري جبري نسبتاً طولاني ، بخشهاي واقعي و تخيلي نماد18.1 معادله 19 را به نتيجه ميرساندو همچنين معادله 20 را به نتيجه ميرساند. براي يك مقدار معيني از مركز گريزي سر محور يعني يك عدد معين سامر فلد و يك نفر جهت به دست آوردن سفتي معادل بدون بعد و نيز جهت به دست آوردن نسبت فركانس چرخشي معادله 4.8 را ارزيابي ميكند. اين جايگزيني جرم بحراني معادله20.1 را حاصل ميكند كه به نوبت سرعت بي ثباتي را نشان ميدهد.

تحليل ثبات روتور انعطاف ناپذير ساپورت شده با ياطاقان هاي سر محور صاف : براي حركات سر محور كم دامنه در مورد وضعيت تعادلي ، معادلات حركت يك روتور انعطاف پذير ساپورت شده با ياطاقان هاي صاف معادل با معادله 21 ميباشند. كه متغير هاي بدون بعد 26 را معرفي ميكنند . كه C فضاي خالي شعاعي ياطاقان و نماد 22.1 سرعت چرخشي سيستم ياطاقان روتور ميباشد. جايگزيني معادله 1.2 و معادله1.1 ، معادله 23 را نشان ميدهد كه معادله 24 يك جرم بي بعد استو معادله 25 ضريب هاي نيروي ديناميك بدون بعد است. اگر سيستم ياطاقان روتوربراي حركات مركز سر محور كم دامنه در مورد وضعيت تعادلي ثابت باشد، ورد بررسي قرار ميگيرد. به اين منظور ، جهت به دست آوردن معادله 26 پارامتر بي تعادل را بامعادلات فوق تنظيم ميكنيم. اگر سيستم ياطاقان روتور بي ثبات گردد . اين حالت در يك سرعت آستانه چرخشي رخ خواهد داد و روتور بايك فركانس چرخشي حركات اوربيتالي را انجام ميدهد. اين حركات با معادله 1.4 به شكل معادلات 27 ميباشند. —-/ ضريب هاي نيروي ديناميك براي عملكرد هم سر محور مركزي بدون فشار كاربردي : با نزديك شدن مركز سر محور به مركز ياطاقان و از فرمول ارائه شده معادله 29 و 30 را نتيجه ميگيريم. ودر نماد 1-30 ، ازاينرو ضريب هاي نيرو در سيستم (x,y ) به عنوان معادلات 31 و 32 ارائه ميگردند. ازاينرو معادله 33 نتيجه گيري ميشود . ازاينرو ، در وضعيت سر محور مركزي ياطاقان سفتي مستقيمي را نشان نميدهد اما بزرگي هاي تزويجي دارند. يك فشار كم بر روي ياطاقان باعث جابه جايي سر محور در يك جهت اريب بر فشار ميشوند. اين پديده به طور تقريبي در كليه ياطاقان هاي لايه اي با شكل هندسي انعطاف ناپذير يافت ميشود.

معادلات 34-35- 36- 37- 38- 39- 40

ضريب هاي نيروي بدون بعد : بر طبق تعريف معادله 41 بررسي ضريب هاي نيرو را به شكلي بدون بعد ارائه ميدهد. كه نماد 1.41 فشار ثابت كاربردي در هر ياطاقان در جهت x است (توجه كنيد كه فشار كلي معادله 42 در يك روتور متقارن دو ياطاقان دارد. معادله 1-42 را به ياد آوريد كه نماد گاما عدد سامر فلد تغيير يافته ميباشد. با به كار گيري تعاريف زير :معادله 43 ، ضريب هاي نيروي بدون بعد در سيستم مختصات r,t  معادلات 44و 45 و 46 و 47 و 48و 49 و 50 ميشوند. بابه كارگيري تبديل ماتريس ضريب هاي نيرو در سيتم مختصات x,y به آساني به دست مي آيند. و بعد از يك روش جبري طولاني ، از معادله قبلي سفتي ياطاقان و ضريب هاي نيروي استهلاك با معادلات 51 و 52 و 53و 54 و 55 و 56و 57 نشان داده ميشوند.نماد 58 متناظر با سرعت هاي مماسي و شعاعي مركز سر محور در سيستم مختصات r,t ميباشد. توجه كنيد كه ضريب هاي سفتي 59 متناسب با سرعت چرخش نماد 60 و چسبندگي سيال بانماد 61 ميباشند. و ضريب هاي ميرايي 62 تابع مستقيمي از سرعت زاويه اي نيست اما تنها به چسبندگي سيال و وضعيت تعادلي سر محور دارد. بدون چرخش سر محور در آنجا نميتواند يك سفتي ياطاقان با لايه سيالي وجود داشته باشد: معادله 63  – انتگرال گيري معادله قبلي درجهت محوري و به كار بردن شرايط مرزي در اطراف ياطاقان معادله 64 ، معادله 65 را نشان ميدهد. در جايي كه H=h/c ميباشد. نيروهاي لايه سيال شعاعي و مماسي با انتگرال گيري ميدان فشار در سطح سر محور تعيين ميگردد يعني معادله 66 و جايگزيني1.4 با 1.5 و انتگرال گيري در جهت محوري معادله 67 را نشان ميدهد. هرچند، جمله مكعبي در مقسوم عليه نيز بستگي به جابه جايي هاي مركز منحرف شده سر محور دارد. بسط سري هاي تايلور درجه اول از اين جمله معادله 69 را نشان ميدهد. در جايي كه معادلات 69 و 70 وجود دارند. جايگزيني 1.6 با معادله و در نظر نگرفتن جملات درجه دوم ، يعني محصولاتي از كميت هاي كوچك از قبيل معادله 71 بعضي از دستكاريهاي جبري قابل ملاحظه را نشان ميدهد كه معادله 72 ميباشد. در جايي كه معادله 73 انتگرال هاي ياطاقان را تعريف ميكند و معادله 74 به وجود مي آيد.

ضريب هاي نيرو براي ياطاقان سر محور كوتاه : تعريف كلي ضريبهاي نيروي ديناميك ياطاقان پيشرفت كرده است. انحراف تحليلي ضريبها براي ياطاقان سر محور كوتاه در معادله 75 در ذيل آمده است. براي حركات كم دامنه در مورد وضعيت تعادلي معادله 76 به وجود مي آيد، در جايي كه 1-76و 2-76 كميت هاي جا به جايي زاويه اي و شعاعي كوچك ميباشند. معادله 3-1 ازاينرو با معادله 77 باز نويسي ميگردد. از آنجائيكه معادله 78 به وجود مي آيد. از آنجائيكه براي حركتهايي كوچك معادله 79 صورت ميگيرد. ازاينرو در نظر نگرفتن جملات درجه 2 معادله 80 را شكل ميدهد ، در جايي كه معادله 81 به عنوان ضخامت لايه انحرافي درجه صفر و درجه يك مشخص ميشوند. به ياد آوريد كه معادله رينولد براي مدل ياطاقان سر محور كوتاه با معادلات 82 و 83 و 84 ارائه ميگردد. رابطه بين ضريب هاي نيرو در سيستم هاي مختصات به آساني تعيين شده است. معادله 85 و 86 ، جا به جايي تعاريف ضريب نيرو ، 1-1 با معادله 2-1 معادله زير را ارائه ميدهدكه 87 ميباشد. و معادلات حاكم بر حركت براي سيستم ياطاقان روتور انعطاف نا پذير معادله 88 ميگردد. نماد 1-88 شتابهاي مركز سر محور ميباشند. ضريبهاي اينرسي در ياطاقان هاي لايه سيالي با جريان لايه اي و اغتشاشي و آب بندها اهميت خاصي دارند. ضريبهاي نيروي اينرسي يا جرمهاي ظاهري يك تفسير فيزيكي درستي دارند و هميشه در ياطاقان لايه اي سيال وجود دارند. و ضريبهاي اينرسي به خصوص براي مايعات متراكم نسبتاً بزرگ هستند. هرچند، تاثير نيروي اينرسي برروي واكنش ديناميك سيستم هاي ياطاقان روتور در فركانس هاي تحريكي بزرگ اهميت دارند. (اين واقعيت نيز براي اكثر سيستم هاي مكانيكي كه در معرض حركات جزئي سريع قرار دارند صدق ميكند. توجه كنيد كه ضريبهاي نيروي تعريف شده بر حسب پارامترهاي مكانيكي اساسي اجازه نمايشي از ياطاقان لايه سيال ديناميك را ميدهند. هرچند، اين به اين معني نيست كه اين ضريبها با يد بر طبق دانش قراردادي باشند. به طور مثال ضريبهاي ميرايي چسبنده ممكن است منفي يعني غير مصرفي باشند يا ضريبهاي سفتي غير برگرداننده به حالت اول باشند. ضريبهاي نيروي لايه سيالي در جهات شعاعي و مماسي نيز ميتوانند تعريف شوند.ازاينرو نيروهاي لايه سيالي شعاعي ومماسي به صورت معادلات 89 و 90 بيان ميشوند . توجه كنيد كه نماد 91 سرعت هاي مماسي و شعاعي سر محور در سيستم مختصات ميباشد. توجه كنيد كه فرضيه حركت كم دامنه نيار به معادله 92 دارد، يعني جابه جا ييهاي ديناميك كوچكتر از فضاي خالي ياطاقان ميباشد. نيروهاي لايه سيال توابع كلي جابه جاييها و سرعتهاي مركز سر محور نيباشند. كه معادله 93 ميباشد. فرضيه حركات كم دامنه در مورد يك وضعيت تعادلي به عنوان يك بسط سري آزمايشي در مورد وضعيت سر محور ثابت نيروهاي واكنش ياطاقان را نشان ميدهد. (نماد 94) كه معادلات 95 و 96 ميباشند.